Помогите пожалуйста решить уравнение по алгебре: $\sqrt{6 + x}\cdot\sqrt{6 - x} = x$

Уравнения вида $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = c$ можно решить, разделив обе части на $\sqrt{b}$:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = c \Rightarrow \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\frac{1}{\sqrt{b}} = c\cdot\frac{1}{\sqrt{b}} \Rightarrow \sqrt{a}\cdot\sqrt{\frac{b}{b}} = \frac{c}{\sqrt{b}} \Rightarrow \sqrt{a}\cdot 1 = \frac{c}{\sqrt{b}} \Rightarrow \sqrt{a} = \frac{c}{\sqrt{b}}$

Применяя данное правило к нашему уравнению, получим:

$\sqrt{6 + x}\cdot\sqrt{6 - x} = x \Rightarrow x = \frac{\sqrt{6 + x}}{\sqrt{6 - x}}$

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$x^2 = \left(\frac{\sqrt{6 + x}}{\sqrt{6 - x}}\right)^2$

$x^2 = \frac{6 + x}{6 - x}$

Умножаем обе части уравнения на $6 - x$:

$x^2(6 - x) = 6 + x$

Раскрываем скобки:

$6x^2 - x^3 = 6 + x$

Полученное уравнение является кубическим, поэтому его решение можно найти различными способами. В данной статье рассмотрим метод подстановки.

Зададим вспомогательную переменную $t = x - 1$:

$6(t + 1)^2 - (t + 1)^3 = 6 + (t + 1)$

$6(t^2 + 2t + 1) - (t^3 + 3t^2 + 3t + 1) = 6 + t + 1$

Раскрываем скобки и сокращаем:

$6t^2 + 12t + 6 - t^3 - 3t^2 - 3t - 1 = t + 7$

$-t^3 + 3t^2 + 8t + 5 = t + 7$

$t^3 - 3t^2 - 9t - 2 = 0$

Мы получили уравнение третьей степени, которое можно решить различными методами, например, методом подбора корней или использованием численных методов, таких как метод Ньютона.

После нахождения корня $t$, можно найти значение $x$ подставив его обратно в уравнение $t = x - 1$. После этого стоит проверить полученное значение на корректность, подставив его в исходное уравнение.

В данной статье мы рассмотрели способ решения данного уравнения по алгебре. Однако, стоит учитывать, что нахождение аналитического решения для данного уравнения может быть нетривиальной задачей.